Rationale Kurven auf K3 Flächen |
Dr. Christian Liedtke |
Thursday, 2011-10-27 17:00 |
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In hoeher-dimensionaler algebraischer Geometrie spielen rationale Kurven auf Varietaeten eine prominente Rolle, also um nicht-triviale Abbildungen der projektiven Geraden in eine vorgegebene Varietaet. Dabei enthalten "einfache" Varietaeten wie der projektive Raum sich bewegende Familien von rationalen Kurven, und eine Vermutung von Serge Lang besagt, dass sogenannte Varietaeten von allgemeinem Typ nur sehr wenige rationale Kurven enthalten sollten. Zwischen diesen Extremen liegen K3-Flaechen. Obwohl sich rationale Kurven auf K3 Flaechen nicht bewegen koennen, vermutete Bogomolov, dass es doch stets unendlich viele rationale Kurven gibt. Im generischen Fall ist dies von Chen bewiesen worden, und in vielen wichtigen Sonderfaellen von Bogomolov, Hassett und Tschinkel. Fuer K3 Flaechen von ungeradem Picard Rang haben Jun Li und ich Bogomolov's Vermutung bewiesen. Zur Konstruktion der rationalen Kurven benutzen wir dabei Reduktion modulo positiver Charakteristik, Resultate ueber K3 Flaechen ueber endlichen Koerpern (Tate-Vermutung), und Modulraeume stabiler Abbildungen in gemischter Charakteristik. |