Course overview -- Sommersemester 2018 (Archive)

Wir charakterisieren Klassen von (endlichen und unendlichen) Strukturen, die eine verallgemeinerte Quantorenelimination erlauben. Dabei erlaubt die Klasse K verallgemeinerte Quantorenelimination, wenn jede in der Logik der ersten Stufe definierbare Eigenschaft in K bereits durch eine Anzahl q von Quantoren ausgedrückt werden kann, die nur von K abhängt. Falls q = 0 gewählt werden kann, erhalten wir somit den klassischen Begriff der Quantorenelimination.

Let IRT, the infinite form of Ramsey's theorem, be the statement that for $c$ a finite non-empty set and $\pi:[\omega]^k \longrightarrow c$ there is an infinite $Y \subset \omega$ with $\pi$ constant on $[Y]^k$. Such an $Y$ is called homogeneous for $\pi$.

Let FRT, the finite form of Ramsey's theorem, be the statement that for $c$ a finite non-empty set and every positive $m$ and $k$ in $\omega$ there is an $n \in \omega$ such that whenever $X$ is a set of size $n$ and $\pi: [X]^k \longrightarrow c$ there is a set $Y \in [X]^m$ which is homogeneous for $\pi$.

A (finite) subset $Z$ of $\omega$ is called large if the size of $Z$ is at least $\min Z$.

The Paris-Harrington statement, PH, is FRT with the strengthened conclusion that the homogenous set $Y$ may be taken to be large.

FRT may be deduced from IRT, as can PH; FRT may be proved in Peano arithmetic PA, thus without using the axiom of infinity; the remarkable result (1972, published 1977 in the Handbook of Mathematical Logic) of Paris and Harrington is that PH is too strong to be provable in PA.

This talk will expound the work of many authors to show that PH fails in many non-standard models of PA.

Given a measurable cardinal in an inner model of set theory we can construct its ultrapower, which is smaller than any of its factors. Following Kunen's work, we explain this process and its iteration.

Ein angeordneter Körper heißt archimedisch, falls die Menge der ganzen Zahlen in ihm unbeschränkt ist. Es ist leicht zu sehen, dass diese Eigenschaft nicht erststufig axiomatisierbar ist, weshalb es sich anbietet, schwächere Bedingungen zu studieren. Dies führt auf sehr natürliche Weise zur Sprache von Typen im Sinne der Modelltheorie, und einigen interessanten (und recht subtilen) Fragen zu deren Realisierbarkeit.

Groups definable in an o-minimal expansion of a real closed field can be seen as a non-standard version of a Lie group (if the real closed field is the real field then such a group is actually a Lie group). For example, algebraic groups over a real closed field are o-minimal groups. In fact, the behaviour of o-minimal groups rests in between algebraic groups and Lie groups. The definability of the derived subgroup is a good example of this dichotomy.

The commutator subgroup of an algebraic group is again algebraic. However, the commutator of a Lie group may not be a Lie subgroup (there are even solvable counterexamples). The commutator of an o-minimal group may not be definable; in previous work with Jaligot and Otero, we proved that it is so if the group is solvable. Commutators play an important role in any category of groups; they played a crucial role in Conversano-Onshuus-Starchenko's characterisation of which solvable Lie groups are definable in an o-minimal expansion of the real field.

In this talk I will present an overview of these results and provide new insights concerning commutators of simply-connected o-minimal groups.

Die Topologie des Cantor-Raumes, die durch endliche 0-1-Folgen erzeugt wird,nennen wir die Standardtopologie. Bezüglich dieser Topologie ist eine Teilmenge genau dann nirgends dicht, wenn es zu jeder endlichen Folge eine endliche Fortsetzung gibt, die zu keinem Element der Teilmenge Anfangsstück ist. Da jeder Cohen-Baum durch eine endliche Folge definiert wird, können wir das Obige als Definition des Ideals der Cohen-nirgends dichten Mengen nehmen. Das $\sigma$-Ideal der Cohen-mageren Mengen besteht aus abzählbaren Vereinigungen Cohen-nirgends dichter Mengen. Diese beiden Definitionen können wir nun auf beliebige Baumforcings übertragen und uns fragen, ob die beiden Ideale übereinstimmen.

In dem Vortrag möchte ich nachweisen, dass im klassischen Mathiasforcing die beiden Ideale der Mathias-nirgends dichten Mengen und Mathias-mageren Mengen übereinstimmen, wenn wir jedoch das Mathiasforcing für stark unerreichbares $\kappa$ verallgemeinern, diese Gleichheit verlieren.

Die Automorphismengruppe $G$ einer abzählbaren Struktur erster Ordnung ist, ausgestattet mit der Topologie punktweiser Konvergenz, eine polnische Gruppe. Insbesondere wenn die Struktur als Limes einer Klasse endlicher Strukturen entsteht, gibt es sehr enge Verbindungen zwischen den kombinatorischen Eigenschaften jener Klasse und den topologischen Eigenschaften von $G$.

In diesem Rahmen wird vor allem der Zusammenhang der Eigenschaft des kleinen Index (SIP) und der Existenz generischer Automorphismen (AG) auf der topologischen Seite und der Erweiterungseigenschaft partieller Automorphismen (EPPA) und der Ramsey-Eigenschaft auf der kombinatorischen Seite untersucht.

Des Weiteren tendieren solche Limesstrukturen häufig dazu, einen Begriff der stationären Unabhängigkeit (SIR) zwischen ihren endlichen Unterstrukturen definieren zu lassen, welche ebenfalls topologische und algebraische Eigenschaften von $G$ determiniert.

In diesem Überblicksvortrag möchten wir die wichtigsten existierenden Konzepte und Zusammenhänge präsentieren und suggestive Fragen zwischen dem Zusammenhang der kombinatorischen Eigenschaften EPPA und der Existenz einer stationären Unabhängigkeit aufwerfen.