Course overview -- Sommersemester 2019 (Archive)

Several researchers named Beidleman, Andre, Karzel and Whaling have introduced in different ways the theory of near-vector spaces. Our focus will be on the type of near vector spaces originally defined by Beidleman which uses the near-ring modules in the construction. In this talk we shall derive the finite dimensional Beidleman near-vector spaces and also present an algorithm that classifies its R-subgroups.

In dem Bachelorvortrag wird eine Version eines verallgemeinerten Martin-Axioms behandelt. Es wird gezeigt, warum es eine schwache Version ist, und ein Beweis mittels iterierten Forcings für diese dargestellt werden.

This is the presentation of Daniel Kurz's master's thesis:

We select a result from U.Abraham's and S.Shelah's 1983 paper "Forcing Closed Unbounded Sets" (J.Symb.Log. Vol.48 No.3) and show how a set $S \subseteq \kappa$ that is a special kind of stationary ("fat") in $\kappa$ in terms of the groundmodel acquires a closed unbounded subset in a generic extension while cardinals $\leq \kappa$ (and in some cases of $\kappa$ even all cardinals) are preserved. Here, in terms of the groundmodel $\kappa$ is a cardinal such that either $\kappa = \mu^+$, $\mu = \mu^{< \mu}$ an infinite cardinal, or $\kappa$ is strongly inaccessible.

Viele Phänomene in der Modelltheorie henselsch bewerteter Körper lassen sich auf Fragen über die Wertegruppe $\Gamma$ und den Restklassenkörper $k$ zurückführen, die a priori einfacher zu verstehen sind. Der Prototyp eines solchen Resultats ist das Ax-Kochen-Ershov-Prinzip.

Im Vortrag werde ich eine Reihe von geometrischen Reduktionen in nichttrivial bewerteten algebraisch abgeschlossenen Körpern vorstellen. Deren Theorie ACVF eliminiert Quantoren, und die Imaginären sind durch höherdimensionale Analoga von $\Gamma$ und $k$ klassifiziert. Hrushovski-Loeser haben die Modelltheorie von ACVF verwendet, um topologische Eigenschaften von Analytifizierungen algebraischer Varietäten auf definierbare Räume in $\Gamma$, d.h. stückweise lineare Räume, zurückzuführen.Im Vortrag werde ich dies skizzieren, sowie eine äquivariante Version hiervon für semiabelsche Varietäten eingehen. Letzteres ist eine gemeinsame Arbeit mit Ehud Hrushovski und Pierre Simon.

A structure  is called stably embedded if the trace of every externally definable is definable with parameters from the structure.  We will show different examples of theories for which the class of pairs of elementary substructures, where the smaller one is stably embedded in the bigger one, forms an elementary class in the language of pairs. When, in addition, the model-theoretic algebraic closure of a set is a model of the theory, we show that definable types are uniformly definable. As an application, we obtain uniform definability of types in various NIP theories including the theory of algebraically closed valued fields, real closed valued fields, p-adically closed fields and Presburger arithmetic. This implies in return that the spaces of definable types in such theories are pro-definable.