Course overview -- Sommersemester 2021 (Archive)

Paare reell beziehungsweise algebraisch abgeschlossener Körper haben einige interessante Eigenschaften. Wie bereits von Tarski, Robinson und Keisler gezeigt wurde, sind die Theorie echter Paare algebraisch abgeschlossener Körper sowie die Theorie echte​r dichter Paare reell abgeschlossener Körper vollständig und entscheidbar. Die genaue Struktur definierbarer Mengen und die geometrischen Eigenschaften dieser Theorien sind seitdem gut untersucht.

In dem Vortrag wird es darum gehen, in Anlehnung an eine Arbeit von Lou van den Dries zu zeigen, dass offene Mengen, welche in einem dichten Paar (K, E) reell abgeschlossener Körper definierbar sind, bereits im Redukt der Ringsprache definierbar sind. Hierfür werden wir eine detaillierte Beschreibung definierbarer Mengen in einer Variable geben: sie stimmen mit einer semialgebraischen Menge überein bis auf eine "kleinere" definierbare Menge, welche im Bildbereich der E-Punkte einer semialgebraischen Menge durch eine semialgebraische Funktion enthalten ist.

Am Rande angerissen wird der Fall der algebraisch abgeschlossenen Körper behandelt, weil das Vorgehen analog, jedoch wesentlich leichter ist.

Baldwin und Lachlan zeigten, dass überabzählbar kategorische Theorien durch ihre streng minimalen Mengen bestimmt werden. Beispielsweise ist jede unendliche einfache überabzählbar kategorische Gruppe fast streng minimal, das heißt, algebraisch über einer streng minimalen Menge. Eine natürliche überabzählbar kategorische Konstruktion ist die sogenannte Überlagerung einer streng minimalen Menge. Sie ist im Allgemeinen nicht fast streng minimal, jedoch sind alle Fasern in definierbarer Bijektion mit der streng minimalen Menge, d.h. intern zu dieser. In diesem Vortrag werden wir Überlagerungen der komplexen Zahlen im Hinblick auf die kanonische Basis Eigenschaft (CBP) untersuchen. Die CBP, deren Ursprung in einer Arbeit von Pillay und Ziegler liegt, verallgemeinert den Begriff der Monobasiertheit, indem Algebraizität durch Internalität ersetzt wird. Sie gilt in zahlreichen algebraischen Strukturen und einige Zeit war nicht klar, ob sie in allen stabilen Theorien von endlichem Rang gilt, bis Hrushovski, Palacin und Pillay (2013) ein Gegenbeispiel veröffentlichten. Wir werden dieses Beispiel als additive Überlagerung der komplexen Zahlen präsentieren und eine genauere Untersuchung des Scheiterns der CBP wird unendlich viele neue Überlagerungen ohne die CBP liefern.

An often important property of a forcing notion is whether or not it adds dominating reals, i.e. whether there exists a real in the generic extension of the forcing which eventually dominates all reals from the ground model. Famously Mathias forcing does add dominating reals. However, this might not be the case for the Mathias forcing associated with a nonprincipal filter F, MA(F), consisting of conditions in which the infinite set has to be in F. For example if F is the Frechet filter, MA(F) will not add dominating reals. This leads to the following question: For which filters F does MA(F) not add dominating reals? Filters for which this is the case are also called Canjar filters, named after a result by Michael Canjar in 1988. In 2014 Hrusak and Minami showed that these filters share a purely combinatorial property. In this talk we will focus on this characterization and various equivalent properties of filters as well as a topological reformulation by Chodounsky, Repovs and Zdomskyy from 2015.

In joint work with Christian Bräuninger we used relatives of Canjar filters in forcings with superperfect trees. It is open whether the same goals could be achieved with relatives of Mathias forcing as well. In this talk, I will focus on open questions about ultrafilters, and the few proofs I plan to sketch are about topology and combinatorics. Technical aspects of iterated forcing will be skipped.

Über eine gemeinsame Arbeit mit Evans, Hubicke, Konecny und Li. Im Beweis der Einfachheit der Isometriegruppe der Urysohnkugel (Tent-Z,2013) wurde wesentlich verwendet, dass die Urysohnkugel eine SIR, eine Stationary Independence Relation trägt. Wir zeigen hier, dass abzählbare Strukturen mit einer SIR, die ein paar Extraaxiome erfüllt, einfache Automorphismengruppen haben. Das ist anwendbar auf einige Graphen in Cherlins Liste aller abzählbaren, metrisch homogenen Graphen.

Jedes Baumforcing P definiert eine Regularitätsbedingung, die P-Messbarkeit genannt wird. So korrespondiert z.B. die Cohen-Messbarkeit mit der Baire-Eigenschaft. Es wurde gezeigt, dass für eine große Familie von Teilmengen der reellen Zahlen sowohl Cohen- als auch Mathias-messbar jeweils Silver-messbar implizieren.

Wir zeigen, dass sich diese Resultate auf den verallgemeinerten Cantorraum übertragen lassen. Es werden alle grundlegenden Begriffe eingeführt und gezeigt, wie sich bekannte Baumforcings für überabzählbare Kappa verallgemeinern lassen.

A major thread of set-theoretic research focuses on realizing the compactness properties of large cardinals at accessible cardinals like $\aleph_2$ or $\aleph_{\omega+1}$, thus answering questions that one could naturally pose without realizing that large cardinals are relevant. We discuss recent work with Thomas Gilton and Sarka Stejskalova in which we realized an array of consistency results concerning variants of the tree property and the stationary reflection for double successors of regular cardinals like $\aleph_2$.