Course overview -- Wintersemester 2016/2017 (Archive)

Originating in physics, LeBrun recently discovered that solutions to the (Euclidean) Einstein-Maxwell equations are deeply related to conformally Kähler geometry, at least when an integrable complex structure on space-time is given.

After introducing generalizations to higher dimensions of Einstein-Maxwell metrics, we shall discuss their existence from the viewpoint of geometric invariant theory and moment maps. We will also consider the situation when the almost complex structure is not integrable.

In this talk we will discuss how to compute the Stokes matrices for some semisimple Frobenius manifolds by using the so-called monodromy identity. In addition, we want to discuss the case when we get integral matrices and their relations with mirror symmetry. This is a part of an ongoing project with M. Smirnov and previous joint work with Marius van der Put.

Joint work with Georges Habib, Fida El Chami and Roger Nakad. We will show that, starting with an integral inequality due to O. Hijazi and S. Montiel, particular geometries for compact Riemannian spin or spin$^c$ manifolds with foliated boundary may be characterized purely in terms of curvature.

Octonionic line bundles do not exist. Nevertheless, they can be used to describe an invariant needed to classify highly connected 15-manifolds. I will give a little introduction to the octonionic projective plane, and then describe this invariant.

Für eine kompakte Lie Gruppe G ist der G-äquivarainter Bordismus ein Funktor, der jedem topologischen Raum mit stetiger G-Wirkung eine abelsche Gruppe zuordnet. Definiert wird der G-äquivariante Bordismus über eine Äquivalenzrelation auf kompakten glatten Mannigfaltigkeiten mit glatter G-Wirkung. Dadurch wird äquivarianter Bordismus zu einer Methode, die kompakte glatte Mannigfaltigkeiten mit glatter G-Wirkung klassifiziert. Da die Berechnung der äquivarainten Bordismenklassen schwierig ist, wird versucht diese mithilfe der Betrachtung von Fixpunkten auf den nicht-äquivarianten Fall zurückzuführen. In diesem Vortrag wird eine Einführung in die Theorie der äquivarianten Bordismen gegeben. Zusätzlich soll die Rolle von Fixpunkten aufgezeigt werden. Zum Schluss soll für G=Z_2 gezeigt werden, wie sich die Berechnung der Z_2 äquivarianten Bordismusgruppe auf den nicht-äquivarianten Fall reduziert.

I will discuss how one can use a physical theory - the gauged linear sigma model - to study the Kahler moduli space of compact Calabi-Yau threefolds. In particular I will give the definition of the hemisphere partition function associated to objects in certain categories associated to the Calabi-Yau. I will present some results of an ongoing project with M. Romo and E. Scheidegger concerning the interpretation of the hemisphere partition function as a stability condition.

The hypoelliptic Laplacian, constructed by Bismut, is a family of operators that interpolates between the ordinary Laplacian and the geodesic flow. In this talk, we will describe its construction from geometric, analytic and probabilistic points of view. We explain also some applications. One important application is a solution to the Fried conjecture which claims an identity between the analytic torsion and the zero value of a dynamical zeta function.

A Dirac-type operator on a complete Riemannian manifold is of Calliastype if its square is a Schrödinger-type operator with a potential uniformly positive outside of a compact set. We present an index theorem for Callias-type operators twisted with Hilbert C^∗-module bundles. As an application, we derive an obstruction to the existence of Riemannian metrics of positive scalar curvature on noncompact spin manifolds in terms of closed submanifolds of codimension-one.

The origin of Hodge theory goes back to many works on elliptic, abelian and multiple integrals (periods). In this talk, I am going to explain how Lefschetz was puzzled with the computation of Picard rank (defined using periods) and this led him to consider the homology classes of curves inside surfaces. This was ultimately formulated in Lefschetz (1,1) theorem and then the Hodge conjecture. In the second half of the talk I will discuss periods of algebraic cycles and will give some applications in identifying some components of the Noether-Lefschetz and Hodge locus. The talk is based on my book under preparation: A course in Hodge Theory: With Emphasis on Multiple Integrals,

Erfüllt eine glatte Funktion eine geeignete Invarianzeigenschaft unter der Wirkung der Gruppe SL(2,Z) auf der oberen Halbebene, so besitzt sie eine diskrete Fourierentwicklung. Über die Koeffizienten dieser Entwicklung wird die L-Reihe definiert, die in vielen Fällen interessante Eigenschaften wie eine Funktionalgleichung besitzt. Das Standardbeispiel hierfür sind Modulformen. Ich werde zunächst die Definition einer Maassform geben, sie mit der einer Modulform vergleichen und die Eisensteinreihe für SL(2,Z) als Beispiel für eine Maassform vorstellen. Dann werde ich die Fourierentwicklung einer Maassform herleiten und Eigenschaften und Bedeutung der dort auftretenden (modifizierten) Besselfunktionen diskutieren. Zuletzt werde ich die zugehörige L-Reihe definieren und ihre Funktionalgleichung angeben.