Course overview -- Wintersemester 2017/2018 (Archive)

Die J-Hierarchie ermöglicht eine alternative Konstruktion des konstruktiblen Universums L und erlaubt es, für jede Klasse E ein Universum L[E] zu konstruieren, das - wie L - ein Modell von ZFC ist. In diesem Vortrag werden wir L[E] und die J-Hierarchie untersuchen. Dabei werden wir auch sehen, dass L[E] mit der Forcingerweiterung von L bezüglich E übereinstimmt, falls die Menge E ein generischer Filter ist.

We use the so-called sup game to obtain some results about the relationships between dominating $\kappa$-sequences and Cohen $\kappa$-sequences. In particular, we improve a couple of results concerning the amoeba for $\kappa$-Sacks forcing and $\kappa$-Laver forcing that I presented in some previous seminar-talk.

Vektorräume sind modulare Strukturen, denn es gilt die Dimensionsformel. Diesen Begriff der Modularität können wir auf streng minimale Strukturen verallgemeinern, indem wir mit dem algebraischen Abschluss und dem dadurch gegebenen Dimensionsbegriff arbeiten. Eine streng minimale Struktur ist lokal modular (oder monobasiert), wenn die Dimensionsformel für alle endlich erzeugten algebraisch abgeschlossenen Mengen gilt, deren Durchschnitt positive Dimension hat. Marker und Pillay zeigten im Jahre 1990, dass in jedem nicht-monobasierten additiven Redukt der komplexen Zahlen die Muliplikation definierbar ist. Der Beweis erfolgt in zwei Teilen. Im ersten Teil wird mit Hilfe der Gruppenkonfiguration von Hrushovski ein unendlicher Körper im Redukt interpretiert. Wie man dann die ursprüngliche Multiplikation des Körpers im Redukt definieren kann, wird im zweiten Teil gezeigt. Im Vortrag wird der erste Teil des Beweises präsentiert und die Idee des zweiten Teils erklärt.

This is the continuation of the talk of November 8, 2017.

In dem Vortrag werden wir  die Axiome des N-Pseudoraums und einige seiner Eigenschaften besprechen,  die Axiomatisierung des gerichteten Pseudoraums angeben,  besprechen, welche Eigenschaften einen 1-Typ über der leeren Menge eindeutig bestimmen,  und die Unabhängigkeitsrelation besprechen.

This talk criticizes non-constructive uses of set theory in formal economics. The main focus is on results on preference aggregation and Arrow's theorem for infinite electorates, but the present analysis would apply as well, e.g., to analogous results in intergenerational social choice. To separate justified and unjustified uses of infinite populations in social choice, I suggest a principle which may be called the "Hildenbrand criterion" and argue that results based on unrestricted Axiom of Choice (AC) do not meet this criterion. The technically novel part is a proposal to use a set-theoretic principle known as the Axiom of Determinacy (AD). A particularly appealing aspect of AD from the point of view of the research area in question is its game-theoretic flavor.

Usually forcing is performed over transitive countable ground models. However, there are technical means to waive transitivity. In this talk we shall focus on the algebraic features of suitable ground models. We explain ord-transitive models, labelled models, the ord-collapse, and their relations to the Mostowski collapse.

Der Imperfektionsgrad eines Körpers $K$ positiver Charakteristik $p$ ist im Grunde die linear Dimension von $K$ als $K^p$-Vektorraum. Der Körper $K$ ist separabel abgeschlossen, falls er keine echte separable algebraische Erweiterung besitzt, wobei ein algebraisches Element $\alpha$ über $K$ separabel ist, wenn sein minimal Polynom keine doppelten Nullstellen (im algebraischen Abschluss) hat.

Die Theorie separabel abgeschlossener Körper der Charakteristik $p>0$ ist axiomatisierbar, und ihre Vervollständigungen werden durch den Imperfektionsgrad bestimmt. Insbesondere ist die Theorie separabel abgeschlossener Körper der Charakteristik $p>0$ und unendlichen Imperfektionsgrades vollständig und stabil. Diese Theorie hat keine Elimination von Imaginären in der Ringsprache.

In Zusammenarbeit mit Martin Ziegler werden wir zeigen, dass diese Theorie äquational ist. Äquationalität ist eine Art lokaler Noetherianität und impliziert eine relative Elimination von Imaginären. Wir werden zeigen, dass gewisse Formeln Gleichungen in einem geeigneten Modell sind, nämlich in einem differentiell abgeschlossenen Körper der Charakteristik $p$, dessen modelltheoretische Eigenschaften von Carol Wood beschrieben wurden.

Sei $k \geq 1$ eine natürliche Zahl. Gowers' Satz über eine Partition der Menge der $k$-wertigen Blöcke in endlich viele Teile sagt, dass in einem Teil der Partition eine gegen die Tetrisoperation abgeschlossene Unterhalbgruppe liegt. Die partiell definierte Gruppenoperation auf den Blöcken ist die stellenweise Addition, die auf hintereinanderliegenden Blöcken mit der Konkatenation übereinstimmt. Wir verallgemeinern Gowers' Satz, indem wir den Grundraum auf Blocksequenzen, deren Projektionen auf $\omega$ aus bestimmten selektiven Koidealen über $\omega$ stammen, einschränken. Diese neue Variante führt dazu, dass es in Forcingserweiterungen durch Gowers-Matet-Forcing erweiterte Ramseyräume gibt. Der Vortag wird sich auf die Beweisschritte ohne Forcing konzentrieren.

Abstract: Abelian groups form an archetypical example of stable groups. Their model theory is well-understood and in fact, distinct degrees of stability can be easily described for abelian groups in terms of the lattice of definable subgroups. For instance, an abelian group is omega-stable if and only if it satisfies the descending chain condition on definable subgroups.

In this talk, I will characterise the notion of dp-rank, which originates in Shelah's work on NIP theories, for abelian groups. Furthermore, I will explain how to compute it explicitly. This is joint work with Yatir Halevi.